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2019-2020年高考数学大一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测十二函数与方程理

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2019-2020 年高考数学大一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课 时达标检测十二函数与方程理

1.已知函数 f(x)=6x-log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是(

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,4)

D.(4,+∞)

解析:选 C 因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=32-log24=-12

<0,所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4),故选 C.

2.函数 f(x)=x12-???12???x 的零点个数为(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:选 B 令 f(x)=0,得 x12=???12???x,在平面直角坐标系中分别画出函数 y=x12与 y

=???12???x 的图象(图略),可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选 B.

3.若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+ex 的一个零点,则-x0 一定是下列哪个函数的

零点( )

A.y=f(-x)ex-1

B.y=f(x)e-x+1

C.y=exf(x)-1

D.y=exf(x)+1

解析:选 C 由已知可得 f(x0)=-ex0,则 e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0 一定是 y=exf(x)-1 的零点.

4.函数 f(x)=2x-2x-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是(

)

A.(1,3)

B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)

解析:选 C 因为 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则由题意得 f(1)·f(2)=(0-a)(3-

a)<0,解得 0<a<3,故选 C.

5.(xx·天津六校联考)已知函数 y=f(x)的图象是连续的曲线,且对应值如表:

x

1

2

3

4

5

6

y 124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6

则函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个.

解析:依题意知 f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据零点存在性定理可知,f(x)

在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均至少含有一个零点,故函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点

至少有 3 个.

答案:3

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题 1.设 a 是方程 2ln x-3=-x 的解,则 a 在下列哪个区间内( )

A.(0,1)

B.(3,4)

C.(2,3)

D.(1,2)

解析:选 D 令 f(x)=2ln x-3+x,则函数 f(x)在(0,+∞)上递增,且 f(1)=-2<0,

f(2)=2ln 2-1=ln 4-1>0,所以函数 f(x)在(1,2)上有零点,即 a 在区间(1,2)内.

2.已知 a 是函数 f(x)=2x-log12x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足(

)

A.f(x0)=0

B.f(x0)>0

C.f(x0)<0

D.f(x0)的符号不确定

解析:选 C 在同一坐标系中作出函数 y=2x,y=log12x 的图象(图略),由图象可知,

当 0<x0<a 时,有 2x0<log12x0,即 f(x0)<0.

3.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则

函数 y=f(x)-log3|x|的零点有( )

A.多于 4 个

B.4 个

C.3 个

D.2 个

解析:选 B 因为偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),故函

数的周期为 2.当 x∈[0,1]时,f(x)=x,故当 x∈[-1,0]时,

f(x)=-x.函数 y=f(x)-log3|x|的零点的个数等于函数 y

=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象的交点个数.在同一个坐标系中画出函数 y=f(x)的

图象与函数 y=log3|x|的图象,如图所示:显然函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图

象有 4 个交点,故选 B.

4.已知函数 f(x)=?????2-x|-x|,x2,≤x2>,2, 函数 g(x)=3-f(2-x),则函数 y=f(x)-

g(x)的零点个数为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

解析:选 A 由已知条件得 g(x)=3-f(2-x)

=?????|3x--x22,|+x<10,,x≥0, 分别画出函数 y=f(x),y=g(x)的草图,

观察发现有 2 个交点.故选 A.

5.(xx·山西四校联考)函数 f(x)=???2x-1,x≥0,

若方程 f(x)=-x+a 有且

??f x+ ,x<0,

只有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围为( )

A.(-∞,0)

B.[0,1)

C.(-∞,1)

D.[0,+∞)

解析:选 C 函数 f(x)=???2x-1,x≥0,

的图象如图所示,作出直线 l:y=a-x,

??f x+ ,x<0

向左平移直线 l,观察可得当函数 y=f(x)的图象与直线 l:y=-x+a 的图象有两个交点,

即方程 f(x)=-x+a 有且只有两个不相等的实数根时,有 a<1,故选 C.

6.(xx·湖南衡阳模拟)函数 f(x)的定义域为[-1,1],图象如图 1 所示,函数 g(x)的 定义域为[-2,2],图象如图 2 所示,方程 f(g(x))=0 有 m 个实数根,方程 g(f(x))=0 有 n 个实数根,则 m+n=( )

A.14

B.12

C.10

D.8

解析:选 A 由题图可知,若 f(g(x))=0,则 g(x)=-1 或 g(x)=0 或 g(x)=1;由题

图 2 知,g(x)=-1 时,x=-1 或 x=1;g(x)=0 时,x 的值有 3 个;g(x)=1 时,x=2 或

x=-2,故 m=7.若 g(f(x))=0,则 f(x)=-32或 f(x)=32或 f(x)=0.由题图 1 知,f(x)=

32与 f(x)=-32各有 2 个;f(x)=0 时,x=-1 或 x=1 或 x=0,故 n=7.由此可得 m+n=14.

故选 A.

二、填空题

7.若 f(x)=???x2-x-1,x≥2或x≤-1, 则函数 g(x)=f(x)-x 的零点为________. ??1,-1<x<2,

解析:要求函数 g(x)=f(x)-x 的零点,即求 f(x)=x 的根,∴?????xx≥ 2-2x或-x1≤=-x 1, 或

??-1<x<2, ???1=x.

解得 x=1+ 2或 x=1.∴g(x)的零点为 1+ 2,1.

答案:1+ 2,1

8.已知 f(x)=?????x-+x32+,2xx≤+13,,x>1, 则函数 g(x)=f(x)-ex 的零点个数为________. 解析:函数 g(x)=f(x)-ex 的零点个数即为函数 y=f(x)与 y= ex 的图象的交点个数.作出函数图象可知有 2 个交点,即函数 g(x)= f(x)-ex 有 2 个零点.

答案:2

9.(xx·湖北优质高中联考)函数 f(x)=???12???|x-1|+2cos π x(-4≤x≤6)的所有零点之
和为________.

解析:题设可转化为两个函数 y=???12???|x-1|与 y=-2cos π x 在[-4,6]上的交点的横坐 标的和,因为两个函数均关于 x=1 对称,所以两个函数在 x=1 两侧的交点对称,则每对对 称点的横坐标的和为 2,分别画出两个函数的图象易知两个函数在 x=1 两侧分别有 5 个交

点,所以 5×2=10.

答案:10 10.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)=?????akxx,+x1≥,0x,<0, 若函数 g(x)=f(x)-k 有两个零 点,则实数 k 的取值范围是________. 解析:函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,即 f(x)-k=0 有两个 解,即 y=f(x)与 y=k 的图象有两个交点.分 k>0 和 k<0 作出函数 f(x)的图象.当 0<k<1 时,函数 y=f(x)与 y=k 的图象有两个交点; 当 k=1 时,有一个交点;当 k>1 或 k<0 时,没有交点,故当 0<k<1 时满足题意. 答案:(0,1) 三、解答题 11.关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围. 解:设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解,

∵f(0)=1>0, ∴f(2)≤0. 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1, ∴m≤-32.而当 m=-32时,f(x)=0 在[0,2]上有两解12和 2,∴m<-32. ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,

Δ ≥0,
??? 则 0<-m-2 1<2,

??f



?? m- 2-4≥0, ∴?-3<m<1,

??4+ m-

+1≥0.

m≥3或m≤-1,
??-3<m<1,

???m≥-23.

∴-32≤m≤-1.

由①②可知实数 m 的取值范围是(-∞,-1]. 12.已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x. (1)写出函数 y=f(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=x2+2x. 又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x. ∴f(x)=?????x-2-x22-x, 2xx,≥x0<,0. (2)方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,即 y=f(x)与 y=a 的 图象有 3 个不同的交点, 作出 y=f(x)与 y=a 的图象如图所示,故若方程 f(x)=a 恰 有 3 个不同的解,只需-1<a<1, 故 a 的取值范围为(-1,1).



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